7. Problemas de optimización

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Importante

Para resolver un problema de optimización, lo primero es construir la función a maximizar o minimizar, y conseguir que ésta dependa de una sola variable.

Si en el contexto del problema aparecen más de una variable, habrá que buscar alguna relación entre ellas de entre los datos que nos aporte el problema. Una vez encontrada esta relación, se tiene que despejar y sustituir en la función para que esta sí dependa ya de una sola variable.

Los valores candidatos a ser solución de un problema de optimización se obtienen derivando la función, igualando a cero la derivada y resolviendo la ecuación.

Esos valores se llaman puntos críticos de la función.

Para comprobar si es la solución, aplicamos la regla de la segunda derivada o el estudio de la monotonía para comprobar si es máximo o mínimo.

En muchos problemas, hay que examinar los extremos del verdadero dominio dentro del contexto y comparar el valor en esos puntos con el que hemos obtenido en el extremo relativo. 


Observa la siguiente escena. En azul, tenemos la lata de forma cilíndrica de un tercio de litro, que equivale a 333 cm3 (1 litro = 1000 cm3).

A la izquierda, tenemos el desarrollo plano de la lata, como si cogiéramos una tijera, cortáramos y extendiéramos sobre la mesa el metal con el que está hecha la lata. Saldrían los dos círculos de las tapas y el rectángulo de la pared lateral. Moviendo el punto verde, puedes variar la forma de la lata estrechando o ensanchando ese rectángulo, pero fíjate que el volumen siempre es constante.

Claro al fabricante de latas, le interesa que el coste de cada lata sea mínimo, y el coste se traduce en la cantidad de material que hace falta para construir la lata. Ese material no es mi más ni menos que el área total del cilindro, es decir, la suma del área lateral y el de las dos tapas.

Mueve el punto verde y observa cómo varía el área y por tanto el material necesario según sea la forma de la lata. ¿Cuándo se obtiene el mínimo y por tanto la mejor opción?

Pero, ¿por qué ocurre con esas medidas?

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Lo resolvemos

Lo resolvemos

Vamos a resolver la cuestión. ¿Cuáles deben ser las medidas de una lata de un tercio de litro para que el coste de fabricación sea mínimo?
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Para saber más

En este enlace aparece explicado con muchos más detalles los problemas de optimización. Ve respasando los distintos apartados.