6.2. Extremos relativos directos

Como ya sabes, los máximos relativos se alcanzan en los puntos donde la función cambia de creciente a decreciente y los mínimos relativos al revés, donde cambia de decrecer a crecer.

Si necesidad de ver la monotonía de la función, podemos saber en qué puntos se alcanzan los extremos relativos. Para ello, la clave está en que en estos puntos la recta tangente es horizontal, es decir, pendiente cero y por tanto, derivada cero.

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Importante

Si una función tiene un extremo relativo en un punto de abscisa x0, necesariamente f '(x0) = 0. Si en es punto, la derivada segunda es positiva, en x0 habrá un mínimo relativo y si la derivada segunda es negativa, habrá un máximo relativo en x0.

Por tanto, para determinar los extremos relativos de una función procedemos así:

  1. Calculamos f '(x), igualamos a cero la derivada y resolvemos la ecuación. Las soluciones serán los puntos candidatos a extremo relativo o también llamados puntos críticos.
  2. Calculamos f ''(x) y sustituimos en ella los puntos candidatos.
  • Si f ''(x0) > 0 → x0 es mínimo relativo.
  • Si f ''(x0) < 0 → x0 es máximo relativo.
  • Si f ''(x0) = 0 → Posiblemente habrá un punto de inflexión, para asegurarlo, la tercera derivada deberá ser cero.

Aquí un ejemplo de calcular extremos relativos, aunque el final lo hace con la monotonía en lugar de la segunda derivada:

 

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