Razones Trigonométricas de cualquier ángulo

Hasta ahora hemos visto razones trigonométricas solamente de ángulos agudos, pero estos conceptos los podemos extender a cualquier ángulo, incluso a los mayores de 360º pues estos se van a asemejar a algún ángulo entre 0 y 360º y por tanto sus razones trigonométricas serán iguales.

Ya sabes que las razones trigonométricas no dependen de lo grande que sea el triángulo, sino del ángulo en cuestión. Vamos a suponer que nuestro triángulo tiene hipotenusa 1. Este triángulo entonces podríamos dibujarlo dentro de una circunferencia de radio unidad, el radio de la circunferencia sería la hipotenusa del triángulo y el ángulo vamos a empezar a contarlo desde el eje positivo de las x, es decir el ángulo que medimos es el que forma el radio con el eje positivo x.

A esta circunferencia de radio 1 que tiene el centro en el origen de coordenadas se le llama circunferencia goniométrica. Los ángulos se miden desde el eje X y en sentido contrario a las agujas del reloj.

ángulo 60º

    La imagen de la izquierda muestra como dibujaríamos el ángulo de 60º. Pero además nos muestra gráficamente cómo calcular el seno y cómo calcular el coseno de un ángulo.

Observa que si la hipotenusa vale 1, el valor del seno coincide con la longitud del cateto opuesto y el valor del coseno con la longitud del cateto contiguo.

Así pues  en este caso:  sen 60 = 0,87  y cos 60 = 0,5.

Por tanto podemos quedarnos con la idea de que el coseno marca una longitud en el eje de las "x" y que el seno marca una longitud en el eje de las  "y". Además podemos identificar cualquier ángulo  con un punto (a,b) sobre la circunferencia cuyas coordenadas serán respectivamente el coseno y el seno del ángulo.

 

Observa y manipula el siguiente applet. Moviendo el punto azul P, puedes representar cualquier ángulo en cualquier cuadrante. Comprueba qué pasa con los valores del seno y el coseno cuando vamos cambiando el ángulo de cuadrante.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

laureano serrano, 20-09-06, Creado con GeoGebra

 

Responde a las siguientes preguntas manipulando la escena anterior:

 

 

Como puedes observar, los valores de seno y coseno están siempre entre  -1 y 1 y los signos se corresponden con los ejes. Por ejemplo, el seno es positivo en los cuadrantes donde está la parte positiva del eje OY, esto es, primer y segundo cuadrante y el coseno es positivo en los cuadrantes donde está la parte positiva del eje OX, esto es, el primer y el cuarto cuadrante.

Esto podemos resumirlo así:

signos del seno en los distintos cuadrantes                   signos del coseno en los distintos cuadrantes

 

Además sabemos que la tangente se pude obtener dividiendo seno entre coseno. Entonces los signos en los distintos cuadrantes se pueden obtener dividiendo los signos del seno y del coseno en ellos.

signos de la tangente

 

 

 

Reducción de ángulos al primer cuadrante

Acabamos de ver el comportamiento en cuanto a signo de las razones trigonométrica, pero si observas con detenimiento, los valores del seno, coseno y tangente en cualquier cuadrante son los mismos que en el primer cuadrante variando solamente el signo.

Por ejemplo  sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,87 y tg 30º = 0,58. El ángulo 150º cumple que sen 150º = 0,5; cos 150º = - 0,87 y tg 150º = - 0,58.

Como ves los valores son los mismos variando sólo el signo, esto nos lleva a pensar que debe haber alguna relación entre los ángulos 30º y 150º. Vamos a ver cómo se hace esa relación entre los distintos cuadrantes.

Reducción del segundo cuadrante al primero (ángulos suplementarios)

 

Observa la siguiente escena. Moviendo el punto P, puedes obtener cualquier ángulo  β del segundo cuadrante ( ángulos entre 90º y 180º.)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

laureano serrano, 10-10-06, Creado con GeoGebra

 

 

 

A partir del punto P y del segmento que lo une con el origen para definir el ángulo, obtenemos el triángulo verde del que sacaremos las razones trigonométricas del ángulo β.  

   Como hemos visto anteriormente, la longitud del segmento rojo determinará el seno del ángulo  β y la longitud del segmento azul el coseno.

Pues bien, observa que el triángulo rosa que se forma en el primer cuadrante tiene exactamente las mismas dimensiones que el verde, pues los segmentos azules son iguales y los segmentos rojos son iguales, y además ese triángulo rosa nos define un ángulo del primer cuadrante α .

Así pues, las razones trigonométricas de los ángulos  α  y  β tienen que ser iguales, pudiendo variar únicamente en los signos como ya hemos visto antes.

 

Responde a las siguientes cuestiones a partir de la escena:

Moraleja: Si tenemos un ángulo β en el segundo cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero, sólo tenemos que hacer la operación:  180 - α = β   y despejar  α, es decir buscar su ángulo suplementario.

 

Reducción del tercer cuadrante al primero (ángulos que difieren 180º)

Observa la siguiente escena. Moviendo el punto P, puedes obtener cualquier ángulo  β del tercer cuadrante ( ángulos entre 180º y 270º.)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

laureano serrano, 10-10-06, Creado con GeoGebra

 

 

A partir del punto P y del segmento que lo une con el origen para definir el ángulo, obtenemos el triángulo verde del que sacaremos las razones trigonométricas del ángulo β.  

   Igual que antes, la longitud del segmento rojo nos dará el seno del ángulo  β y la longitud del segmento azul el coseno.

  Observa ahora el triángulo que hemos construido en el primer cuadrante prolongando el segmento que une el punto P con el origen de coordenadas. Este triángulo rosa que se forma en el primer cuadrante tiene otra vez  exactamente las mismas dimensiones que el verde, pues los segmentos azules son iguales y los segmentos rojos son iguales. Al igual que antes en este triángulo tenemos definido un ángulo ya del primer cuadrante α .

   En este nuevo triángulo, el seno de α lo marca el segmento rojo y el coseno el segmento azul, y puesto que los segmentos rojos eran iguales y los azules también, las razones trigonométricas de los ángulos  α  y  β serán también iguales,  variando únicamente como ya sabemos en los signos.

 

 

Responde a las siguientes cuestiones a partir de la escena:

 

Moraleja: Si tenemos un ángulo β en el tercer cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero, sólo tenemos que hacer la operación:  180 + α = β   y despejar  α, es decir buscar el ángulo que difiere con el 180º.

 

 

 

Reducción del cuarto cuadrante al primero (ángulos opuestos)

   Observa la siguiente escena. Moviendo el punto P, puedes obtener cualquier ángulo  β del cuarto cuadrante ( ángulos entre 270º y 360º.)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

laureano serrano, 10-10-06, Creado con GeoGebra

 

  

Otra vez a partir del punto P y del segmento que lo une con el origen para definir el ángulo, obtenemos el triángulo verde del que sacaremos las razones trigonométricas del ángulo β.  

   Igual que en los casos anteriores, hemos construido un triángulo en el primer cuadrante que nos marca el ángulo  α y que es igual en dimensiones al verde, pues una vez más los segmentos rojos y azules son iguales entre sí.

   Observa el ángulo γ que hemos dibujado en ese triángulo. Puedes comprobar moviendo el punto P que en todo momento los ángulos  α  y  γ son iguales en amplitud.

   El ángulo que nos define el punto P podemos medirlo de dos formas; una la usual, en el sentido antihorario y la otra en el sentido de las agujas del reloj, que nos daría un valor negativo para el ángulo.

   Para calcular las razones trigonométricas de ese ángulo β del cuarto cuadrante vamos a fijarnos entonces en el ángulo γ, y como acabamos de ver que  α  y  γ son iguales, las razones trigonométricas vendrán dadas entonces por las del ángulo α.

 

Responde a las siguientes cuestiones a partir de la escena:

 

  Moraleja: Si tenemos un ángulo β en el cuarto cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero, sólo tenemos que hacer la operación:  360 - α = β   y despejar  α, es decir buscar el ángulo que completa la circunferencia. Esto es lo mismo que poner el ángulo en negativo y quedarnos con el opuesto

  

 

Ángulos complementarios

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

laureano serrano, 10-10-06, Creado con GeoGebra

 

Otra relación que existe entre ángulos y razones trigonométrica es la de los ángulos complementarios ( ángulos del primer cuadrante que suman 90º.)

  El punto D del applet nos da el ángulo α.

   Sólo  tienes que mover el punto  a lo largo del arco de circunferencia. Observa que los ángulos α y γ son complementarios, pues siempre suman 90º.

¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos 20º y 70º?

¿Qué relación existe entre las razones de los ángulos 30º y 60º?

En general, ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de dos ángulos complementarios?

¿Crees qué existe también alguna relación entre las tangentes?

 

 

 

 

 

página anterior            ir al inicio del tema            página siguiente