ESTADÍSTICA
Tema 5: Distribuciones Aleatorias

5.- CÁLCULO   DE   PROBABILIDADES  EN   UNA   DISTRIBUCIÓN    NORMAL.

TIPIFICACIÓN   DE   LA   VARIABLE

Para calcular probabilidades con variables que siguen la distribución normal se usan tablas. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, solamente la tenemos para la distribución normal estándar, es decir, para la  N( 0 , 1 ). 

Necesitaremos, pues, ser capaces de transformar las variables X "normales" N(µ,σ) que encontremos,  en variables Z que sigan una distribución normal estándar N(0,1). Este proceso de llevar cualquier distribución normal a una N( 0 , 1 ) se llama "tipificación de la variable".

 

Para tipificar X (o sea, transformarla en Z), el primer paso es "centrar" la variable; es decir, hacer que la media µ sea 0.

 

El siguiente paso es conseguir que la desviación típica σ sea 1.

 

Por tanto para tipificar una variable lo que hemos de hacer es restar la media y dividir por la desviación típica.

Ejemplo 1: X →N( 8 , 1.5). Calcula P[ X < 6]

y para terminar y calcular la probabilidad, aplicamos lo que viene a continuación. Con esto lo que hemos hecho es simplemente tipificar la variable transformando la probabilidad pedida en una relacionada con la normal N ( 0 , 1 ).

 
 

A partir de ahora nos centramos en la distribución normal  N( 0 , 1 ) y vamos a ver cómo calcular probabilidades en ella. Para distinguir, siempre que hagamos referencia a una variable  N(0,1), vamos a expresarla con la letra Z.

P [ Z ≤ a ]  con   " a " un número positivo
Un concepto asociado a cualquier distribución de probabilidad es el de Función de Distribución. La función de distribución en un punto se define como la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a él. Así, la función de distribución en el punto "a", que representaremos por F(a), será :

 F(a) = P [ X ≤ a].

La siguiente escena muestra la función de distribución de la variable  Z → N( 0 , 1 ) para valores positivo de Z. Desplazando el punto rojo obtienes el valor del área bajo la curva que representa la probabilidad  P [ Z ≤ a ]
Calcula las siguientes probabilidades a partir de la escena y anota los resultados en tu cuaderno:

P [ Z ≤ 0.5]

P [ Z ≤  1.24]

P[ Z < 2.5 ]

P[ Z < 0 ]

P[ Z ≤  2.98]

P[ Z ≤  4]

F( 0.82)

Existen tablas de la función de distribución de esta variable N(0,1). A continuación se muestra la tabla con sus valores.

Por ejemplo, si quiero calcular P [ Z ≤  2.43 ], tenemos que buscar 2.4 en las filas y 0.03 en las columnas y vemos que en esa cuadrícula lo que aparece es .9925, por tanto, P [ Z ≤  2.43 ] = 0.9925

 

Ejercicio: Calcula las probabilidades anteriores a partir de la tabla y comprueba que sale lo mismo que con la escena.

P [ Z > a ]  con  "a "  un  número  positivo
Aplicando las propiedades de la probabilidad, basta ver que " Z > a"  es el suceso complementario a " Z  ≤  a ". Por tanto  P [Z > a ] = 1 - P [ Z ≤  a  ], y esta última la calculamos utilizando las tablas.

Por ejemplo: P[ Z > 1.83 ] = 1 - P [ Z ≤ 1.83 ] = 1 - 0.9664 = 0.0336

                     P [ Z ≥ 0.49 ] = 1 - P [ Z < 0.49 ] =1 - 0.6879 = 0.3121

P [ Z ≤ - a ]
 
La probabilidad que queremos calcular es la zona coloreada en celeste.

Modificando el control " valor de -z", observa en la escena de la izquierda que en cada momento, la zona celeste es igual a la zona amarilla debido a la simetría de la distribución normal y por tanto P[ Z < - a ] = P [ Z > a ]

En la parte de la derecha puedes ver lo que hemos comentado anteriormente, la zona amarilla es igual a 1 - zona verde que es lo que aparece en las tablas.

Por tanto, P[ Z < -a ] = P [ Z > a ] = 1 - P [ Z ≤ a ]

P [ Z < - a ] = 1 - P [ Z ≤  a]

Ejemplo :  P [ Z ≤  -1.37 ] =  P [ Z > 1.37] = 1 - P [ Z ≤  1.37] = 1- 0.9147 = 0.0853

                 P [ Z < -0.04] = 1 - P [ Z < 0.04 ] =  1- 0.5160 = 0.484

P [ Z > - a ]
Aplicando las propiedades de la probabilidad, tenemos que:  P [ Z > - a] = 1 - P [ Z  ≤  - a ]  = 1 - ( 1 - P [ Z < a ] ) = P [ Z < a ].

Luego  P [ Z > -a] = P [ Z < a ].

Ejemplo : P [ Z ≥ - 1.14] = P [ Z < 1.14] = 0.8729

                 P [ Z > -3] = P [ Z < 3 ] = 0.9987

Probabilidad en un intervalo; P [ a < Z < b ]
Vamos a ver ahora cómo calcular probabilidades de intervalos (z1, z2); es decir, P(z1<Z<z 2).

Queremos calcular la probabilidad del intervalo (z1, z2), que está marcada en la figura B, pero en la tabla sólo aparecen probabilidades del tipo:  P(Z ≤  z 0)

Dale  distintos valores a z1 y a z2 y observa los gráficos. Busca la manera de calcular la probabilidad P(z1≤ Z ≤z2) a partir de las probabilidades que conocemos P(Z ≤ z0 )

 

P [ a < Z < b ] = P [ Z < b] - P [ Z < a ]

EJERCICIOS

 
 
1. Sea Z una variable aleatoria que sigue una distribución  N (0 , 1 ). Halla las siguientes probabilidades:
  1. P(Z ≥ 0.32)
  2. P(Z ≤ 0)
  3. P ( Z > 0.7 )
  4. P ( -0.51 ≤ Z ≤  0.51)
  5. P [ Z ≤  - 1.45 ]
  6. P [ Z > - 2.63]
 
2. En una distribución normal  N ( 5, 2 )  calcula las siguientes probabilidades:
  1. P ( X ≤ 3.25)
  2. P [ X > 4.5 ]
  3. P [X ≤  7.2]
  4. P [ 3 < X ≤  6]
 

 
3. El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro sanitario se distribuye según una variable normal de media 17 minutos y desviación típica 3 minutos. Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 13 y 21 minutos. ¿Cuánto tiempo se espera que tarde la ambulancia en llegar? ¿ Para qué valor de t, la probabilidad de que el tiempo de llegada sea superior a t es del 5%?
 

 
4. Un estudio antropológico de una tribu del centro de África ha constatado que la longitud del dedo corazón de los adultos sigue una ley normal de media 60 mm y varianza 9 mm. Si hay 800 adultos en esa tribu, determina cuántos tienen el dedo corazón:

                a) Más largo de 62 mm                     b) Más corto de 57 mm.                             c) Entre 60 y 66 mm.
 

 
5.El peso teórico de la tableta de cierto medicamento es de 234 mg. Si suponemos que los pesos  de la tabletas tienen una desviación típica de 10 mg por tableta y que se distribuyen normalmente,
  1. ¿Cuál será el tanto por ciento de tabletas con peso menor o igual a 210 mg?
  2. ¿Cuál será el tanto por ciento de tabletas con peso superior a 240 mg?
 

 
6.El tiempo de vida de una bombilla sigue una distribución normal N(180, 15), donde el tiempo se mide en horas. ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar una bombilla, luzca más de 195 horas? ¿ Y menos de 170?
 

 
7. Un laboratorio farmacéutico prepara pastillas circulares con un diámetro medio de 12 mm y una desviación típica de 0,8 mm, pero si la pastilla fabricada tiene un diámetro inferior a 9.5 mm o superior a 14.7 mm, ésta se rechaza por no tener la cantidad adecuada de medicamento. Sabemos además que el diámetro sigue una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que al fabricar una pastilla, ésta esté en condiciones de ser utilizada?
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