3. Asíntotas y ramas infinitas

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Sea a un número real, la recta vertical x=a es una asíntota vertical de la función y=f(x) si se verifica alguna de las siguientes propiedades:






¿Cómo saber donde buscar la asíntota vertical?

  • Si es una función polinómica, no tiene asíntotas de ningún tipo.

  • Si es una función RACIONAL,  tendremos que buscar en las raíces del denominador, o lo que es lo mismo, donde se anula el denominador. Eso son los candidatos; después hay que comprobar que efectivamente es así.

Ejemplo:

Si tenemos la función y queremos calcular sus asíntotas verticales, tendremos que estudiar para que valores x2-1=0. En este caso las posibles asíntotas verticales son x=1 y x=-1.

 

 

x=1. Tenemos que calcular el límite cuando x=1- y el límite cuando x=1+.

  (Basta ver el signo del O) La asíntota vertical es como la primera imagen de la definición. Cuando nos acercamos a x=1 por la izquierda la gráfica de f(x) tiende a -∞.

  La asíntota vertical es como la última imagen de la definición. Cuando nos acercamos a x=1 por la derecha la gráfica de f(x) tiende a +∞.

 

x=-1. Tenemos que calcular el límite cuando x=-1- y el límite cuando x=-1+.

En este caso  . Estamos en el caso 2 de la definición. Cuando nos acercamos a x=-1 por la izquierda la gráfica de f(x) tiende a -∞.

, esto es, es similar a la tercera gráfica de la definición.  Cuando nos acercamos a x=-1 por la derecha, la gráfica de f(x) tiende a +∞.

 

  •  Otra función que tiene asíntota vertical es la función LOGARÍTMICA, más concretamente, en los puntos extremos de los  intervalos donde empieza el dominio.
y=ln(x)

 

 

El logaritmo tiene una asíntota vertical x=0; donde empieza o termina el dominio

 

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Calcula, si las tienen, las asíntotas verticales de las siguientes funciones:


   
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Sea b un número real, la recta horizontal y=b es una asíntota horizontal de la función y=f(x) si se verifica alguno de los siguientes límites:

 



 


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Calcula, si las tienen, las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:


   
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La recta y=mx+n, m≠0 es una asíntota oblicua de y=f(x) si se verifica alguno de estos límites:


 

 

Para calcular la ecuación de la asíntota, y=mx+n, tendremos que calcular:


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Calcula la asíntota oblicua de las siguientes funciones:


Icono IDevice Para saber más

Aquí te dejo dos vídeos para que veas paso a paso cómo se hallan las asíntotas de una función racional: