Derivadas y aplicaciones de las derivadas

 

 
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En esta unidad continuamos el bloque de contenidos de Análisis Matemático o funciones, y lo hacemos subidos a hombros de un auténtico gigante como es la DERIVADA. Sí, la derivada, un aunténtico gigante que como irás viendo, es una potentísima herramienta matemática que aplicada a funciones nos permitirá resolver y descubrir un montón de cuestiones.

La derivada es el ritmo de cambio de cualquier función en un determinado instante, pero que también puede representar el ritmo o velocidad de cambio de cualquier cosa, la densidad o aumento de la población de delfines en relación con el aumento o disminución de la temperatura del agua, el ritmo de cambio de volumen de un globo respecto al área de su superficie o el ritmo de cambio del precio de una pizza con respecto a su tamaño.

Veremos cómo la derivada es para la rama de la Física que estudia las leyes del movimiento, lo que las ruedas son para un viaje, un medio sencillo pero muy eficaz.

 

Cuando empezamos este bloque de contenidos, lo primero que hicimos fue repasar las propiedades gráficas que tenía una función, ¿por qué?, pues porque es importante conocerlas ya que con un simple vistazo podemos saber toda la información que ésta aporta. 

Gráfica de la función x / (x2+1)El segundo paso, fue repasar las que llamábamos funciones elementales, y recordar cómo se representaban pues a partir de la gráfica lo sabíamos todo, pero claro, hay muchas más funciones, y sería interesante saber también cómo es la forma de todas ellas. La expresión algebraica o analítica nos da la exactitud, pero la expresión gráfica es la que nos aporta visualmente gran información. Por ejemplo, si tenemos la función

en principio nos quedamos igual, sin embargo, si vemos su gráfica, que es la que aparece a la izquierda, sabemos que para valores grandes,

 Dibujo de un detective con lupa y pipa
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positivos o negativos, se acerca a cero, que primero decrece, después crece y después vuelve a bajar, que si x es menor que cero la función es negativa y a partir de cero positiva, que el valor máximo se alcanza si x vale 1 y es 0,5...

Pero, ¿podré yo dibujar esa función? Pues bien, este es el objetivo principal que nos hemos planteado para este bloque de contenidos, que si tienes cualquier función, sepas representarla gráficamente y por tanto sepas hacer un estudio de todas sus propiedades. Así que, a partir de ahora, podrás sacarle a cualquier función toda la información que posea. ¡Ya les gustaría a los detectives tener algo así!

En la última parte del tema, aprenderás también una técnica basada en las derivadas de funciones importantísima e interesantísima, pues busca obtener siempre la mejor respuesta ante una determinada situación. Vas a ver cómo la derivada se puede aplicar al diseño de una parcela, a la recogida de frutos o a la fabricación de envases.