Permutaciones con repetición

Llamamos PERMUTACIONES CON REPETICIÓN de n elementos en las que el primer elemento se repite n₁ veces, el segundo se repite n₂ veces ... y el último se repite n_k veces a los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por P_n^{n1,n2,...,nk.}

Veamos con un ejemplo cómo se construyen: Construir todos los números de seis cifras posibles utilizando dos veces el número uno y cuatro veces el número dos.

Para hacerlo de una forma ordenada vamos a utilizar el diagrama de árbol como se hace en la siguiente escena.

Hemos calculado el número de permutaciones con repetición de seis elementos en las que el primer elemento se repite dos veces y el segundo se repite cuatro veces: P₆^2,4 . Si el elemento que se repite dos veces fuera distinto, obtendríamos a partir de cada permutación, 2! permutaciones distintas. De la misma forma si el elemento que se repite cuatro veces fuera distinto, obtendríamos también 4! permutaciones distintas, obteniendo de esta forma todas las permutaciones posibles con seis elementos distintos, por tanto:

Esta fórmula se puede generalizar a la fórmula general que nos permitirá calcular el número de permutaciones con repetición en cualquier caso.

La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de permutaciones con repetición en los distintos casos que se pueden presentar.

En esta última escena puedes realizar algunos ejercicios de aplicación de permutaciones con repetición.

Actividad 1.

Calcula: a) PR₁₀^5,3,2 b) PR₁₂^6,6 c) PR₈^2,2,2,2 d) PR₁₀^4,3,2,1

Actividad 2.

Con los elementos del conjunto A={a, b}, construir todas las permutaciones con repetición en las que el primer elemento se repite tres veces y el segundo dos veces.

Actividad 3.

Una persona intenta recordar una clave de seis letras que ha olvidado, aunque recuerda que estaba formada utilizando dos veces cada una de las iniciales de su nombre "abc". ¿Cuántas posibilidades tiene?