Variaciones con repetición

Llamamos VARIACIONES CON REPETICIÓN de m elementos tomados de n en n (de orden n) a los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por V_Rm,n.

Veamos con un ejemplo cómo se construyen: partimos de un conjunto con cuatro elementos, A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las variaciones con repetición posibles.

De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos sin ninguna posibilidad de repetición: 1 , 2 , 3 , 4.

De dos elementos. Se pueden obtener a partir de las de orden uno añadiendo el segundo elemento. Como ahora se pueden repetir, el segundo elemento puede ser cualquiera de los cuatro que tenemos. Así se obtienen: 11, 12 , 13 , 14 , 21 , 22 , 23, 24 , 31 , 32 , 33 , 34 , 41 , 42 , 43 , 44.

De tres elementos. Las obtenemos a partir de las anteriores, añadiendo a cada una de ellas otra vez todos los elementos que tenemos.

De cuatro elementos. Se obtienen a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas nuevamente todos los elementos.

De cinco o más elementos. Como estamos construyendo variaciones con repetición y los elementos se pueden repetir, podríamos continuar construyendo variaciones de orden cinco o más elementos.

Al estar trabajando con cuatro elementos nada más, la formación de variaciones con repetición resulta relativamente fácil, pero se puede hacer más fácil todavía utilizando para la construcción el diagrama de árbol, como se puede comprobar con la siguiente escena.

Si queremos saber el número de variaciones con repetición que hay, siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, es fácil deducir una fórmula para obtener dicho número:

De orden uno. Hay cuatro. VR_4,1 = 4.
De orden dos. Se han construido añadiendo cuatro elementos a cada una de las anteriores. VR_4,2 = 4 · 4 = 16.
De orden tres. Se han construido añadiendo cuatro elementos a las anteriores. VR_4,3 = 4 · 4 · 4 = 4³ = 64.
De orden cuatro. Se ha añadido cuatro elementos a las anteriores. VR_4,4 = 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁴ = 256.

A partir de estas fórmulas es fácil deducir la siguiente fórmula para calcular el número de variaciones con repetición VR_m,n.

VR_m,n = mⁿ

La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de variaciones con repetición para cualquier valor de m y n.

En esta última escena puedes realizar algunos ejercicios de aplicación de variaciones con repetición.

Actividad 1.

Calcula: a) VR_4,6 b) VR_6,4 c) VR_10,5 d) VR_2,10

Actividad 2.

a) Con los elementos del conjunto A={a, b, c, d}, construir todas las variaciones con repetición de orden 2.

b) Con los elementos del conjunto A={4, 7}, construir todas las variaciones con repetición de orden 4.

Actividad 3.

Lanzamos una moneda siete veces consecutivas y anotamos el resultado (cara o cruz) en el orden en el que aparecen. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?

Actividad 4.

¿Cuántas quinielas habrá que rellenar para asegurarnos un pleno al 15 si los tres primeros partidos nos lo vamos a jugar a triples?